Contents目錄
第一次接觸建議依 1 → 2 → 3 → 4 的順序；已會向量運算，可以直接跳到需要的章節。First time? Follow 1 → 2 → 3 → 4. If you already know vector operations, go straight to the chapter you need.
1Foundation基礎
Vector Space Lab向量空間實驗室
25–30 minutes25–30 分鐘8 core exercises + learning missions8 個基礎練習＋探索任務學會把向量相加、乘上純量，並判斷一個集合是否符合向量空間的規則。
Combine vectors and decide whether a set satisfies the vector-space rules.
- Prerequisite先備知識
- 會算正負數，並能讀懂平面座標 (x,y)。
- Signed-number arithmetic and coordinates in the plane.
- First experiment第一個操作
- 把 a 從 1 改成 −1，觀察 au 的方向與 au+bv 的結果。
- Change a from 1 to −1 and compare the scaled vector and the sum.
- What you can explain完成後你能…
- 能寫出一個線性組合，並用反例解釋封閉性為何失敗。
- Calculate a linear combination and justify a closure counterexample.
2Foundation基礎
Linear Independence Lab線性相依與線性獨立
30–35 minutes30–35 分鐘8 core exercises + learning missions8 個基礎練習＋探索任務了解「能不能用不全為零的係數，把向量組合成零向量」，以及這與重複資訊的關係。
Find out whether a nontrivial linear combination can cancel to zero.
- Prerequisite先備知識
- 先懂向量加法、純量乘法與線性組合；會解兩個未知數的聯立方程式更好。
- Vector operations and linear combinations; simultaneous equations are helpful.
- First experiment第一個操作
- 選「兩個成比例的向量」，試 c₁=−2、c₂=1，看看和是否為零。
- Choose proportional vectors and test coefficients −2 and 1.
- What you can explain完成後你能…
- 能給出相依關係，並知道「全部係數是 0」為何不算證明相依。
- Give a dependence relation and know why the trivial relation is insufficient.
3Foundation基礎
Matrix Transformation Lab矩陣即線性變換
25–30 minutes25–30 分鐘8 core exercises + learning missions8 個基礎練習＋探索任務把 2×2 矩陣看成讓平面變形的函數：看 e₁、e₂ 被送到哪裡，並用行列式解釋面積與方向。
See a 2×2 matrix as a function that reshapes the plane: track e₁ and e₂, and read area and orientation from the determinant.
- Prerequisite先備知識
- 先完成第 1、2 章：會算線性組合，知道兩個向量相依代表成比例。
- Chapters 1–2: linear combinations, and dependence of two vectors as proportionality.
- First experiment第一個操作
- 從 A=I 開始，先預測把右上角改成 1 後 e₂ 會去哪裡，再看方格網變斜。
- Start at A=I, predict where e₂ goes when the top-right entry becomes 1, then watch the grid shear.
- What you can explain完成後你能…
- 能從矩陣讀出 e₁、e₂ 的像，算出 Av，並用 det 解釋面積倍率、翻面與壓扁。
- Read the images of e₁ and e₂ from a matrix, compute Av, and use det to explain area, flips and collapse.
4Application應用
Transformer Vector LabTransformer 向量與矩陣
20–25 minutes (beginner route)20–25 分鐘（基礎路線）4 core exercises + learning missions4 個基礎練習＋探索任務用小型語言模型範例，理解向量如何表示 token，以及矩陣乘法如何算出候選 token 的分數。
See how token vectors and matrix multiplication produce candidate-token scores.
- Prerequisite先備知識
- 知道向量的座標，會做乘法與加法；不需要先學人工智慧或微積分。
- Vector coordinates, multiplication and addition; no AI or calculus background needed.
- First experiment第一個操作
- 先看 token 向量，再按「從矩陣範例開始」，手算 mat 的分數 1×2+2×1=4。
- Inspect token vectors, then start the matrix example and calculate the mat score.
- What you can explain完成後你能…
- 能解釋 W 的一列如何和 x 相乘，以及分數與機率有何不同。
- Explain one row of Wx and distinguish a score from a probability.
每章都能獨立使用。表列時間為基礎路線；探索新任務與整理筆記可另預留 15–20 分鐘。先走基礎路線，再展開修理、精簡、出題或控制任務；每章最後都有一題不顯示即時答案的新題，以及可列印的學習筆記。標示「選讀」的內容可以之後再看。Each chapter works on its own. Listed times cover the core route; allow another 15–20 minutes for new missions and notes. Follow the core route, then expand repair, minimal-set, question-design or intervention missions. Finish with a new problem without live answers and printable learning notes. Optional sections can wait.